|
|
|
|
|
|
||
| |||||||||
|
•
|
Вот уж действительно все относительно… В. Высоцкий Рейтинг вообще по определению величина относительная. В случае противоборства двух участников естественно принять определение рейтингов участников как отношение числа их побед и поражений. Для простоты изложения ничьи просто опускаются. В дальнейшем, ничья рассматривается как половинки побед и поражений. Поскольку мы в данном случае имеем дело только с двумя соперниками, то назовем его «парным рейтингом». Сразу же обратив внимание на то, что здесь, в отличие от «пропорционального рейтинга» мы отказываемся от рассмотрения последовательности событий. Для нас серия результатов 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 то же самое, что и серия 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 и означает счет 6 – 4 в пользу одного из соперников. В пропорциональном (народном) рейтинге это совсем не так. Итак, мы можем записать несколько тождественных равенств, выражающих связь парных рейтингов с числом побед и пражений каждого из соперников. Rij / Rji = Wij/Wji Здесь Wij = победы i-го соперника над j-ым. Отметим, что абсолютная величина парных рейтингов Rij и Rji не определена и пока не имеет значения. Совершенно одинаковый смысл имеют соотношения рейтингов 2 к 1, 10 к 5 или 300 к 150. Мы имеем только определенное отношение рейтингов. Таким образом, по результатам турнира (нескольких турниров) мы имеем набор парных рейтингов для участников. При этом часть клеток может быть пустой. Ведь не обязательно турнир проводится по круговой системе. Это может быть и швейцарская система, где пары формируются по результатам предыдущих туров. Или олимпийская система, с выбыванием. Это вообще может быть любая комбинация из разных систем. Теперь, для построения ранжира нам необходимо свести такую матрицу к набору чисел (рейтингов) однозначно характеризующих достижения каждого участника по сравнению с его соперниками. Так, чтобы можно было расположить участников в соответствии с их достижениями. В традиционной, очковой системе, в круговых турнирах и швейцарках, ранжирование обеспечивается суммированием набранных очков, приравнивая все победы, ничьи и поражения. При этом ставится жесткое условие одинакового числа партий для всех участников.. Второе определение, которое мы используем в системе е-рейтинга это определение, что рейтинг участника в турнире (турнирах) равен средневзвешенному от всех парных рейтингов данного участника Ri = Sum Rij * Nij / Ni Это определение ни сколько не менее обосновано, чем сумма очков в очковой системе. Мы еще не определили абсолютную величину парных рейтингов. Что же будем суммировать? Здесь на помощь приходит известный спортивный принцип – «каждый играет так, как позволяет соперник». На языке математики этот принцип преобразуется в гипотезу, выраженную формулой Ri – Rij = -(Rj – Rji) Или словами – Разность между рейтингом участника и его парным рейтингом с данным соперником равна разности между рейтингом этого соперника и его парным рейтингом с данным участником. Эту же гипотезу можно представить в другом виде Ri + Rj = Rij + Rji Или словами сумма рейтингов двух участников равна сумме их взаимных парных рейтингов. Гипотезу не доказать логически ее можно только подтвердить или опровергнуть обсчетом реальных турниров или искусственных примеров. Что и будет сделано ниже. Уравнение для рейтингов Итак, мы все еще не определили абсолютную величину рейтинга, но, используя эту гипотезу, определили связь между рейтингами и парными рейтингами. Этот прием приводит, после некоторых математических преобразований к формуле, связывающей все рейтинги Ri * Li = Sum Lji * Rj Словами эту формулу можно описать так. За каждое поражение участник расплачивается в соответствии со своим рейтингом, а за свои победы получает в соответствии с рейтингом соперника. Ничьи рассматриваются как половинка победы и половинка поражения. Таким образом, при ничьей участники как бы обмениваются рейтингами и, естественно, ничья становится невыгодной для более сильного соперника. Таких формул ровно столько, сколько участников турнира. Для того, чтобы получить абсолютные величины рейтингов необходимо ввести одно дополнительное условие. Естественным условием может быть Sum Ri = N * 1000 Сумма всех рейтингов равна числу участников умноженному на 1000 Другой, абсолютно эквивалентный вариант – положить рейтинг одного из участников равным единице или допустим - 1000. Итак, мы получили систему линейных уравнений, в которой неизвестные это рейтинги участников, а коэффициенты – результаты партий между парами участников. Эта система линейных уравнений позволяет, в принципе получить аналитическую формулу, связывающую рейтинг команды со всеми результатами турнира. Проведенный выше вывод формулы для рейтингов базировался просто на числе побед. Однако точно также вы можете построить рейтинг «слабости» исходя из числа поражений. При этом, формально, математически эти два рейтинга абсолютно симметричны и эквивалентны. Тонкость заключается в «физическом» рассмотрении. Дело в том, что усилия команд направлены на положительный результат. Это и нарушает симметрию при определении числа ошибок ранжирования по тому и другому рейтингам. При выводе формулы мы не рассматривали вопрос о «весе» побед и поражений, чтобы окончательно не запутать читателя. Опуская детали приведем сразу общий вид формул для «рейтинга» и «анти-рейтинга» Ri * (Wi * W + Li * L) = Sum (Rj * (Wji * W + Lji * L)) Ai * (Wi * L + Li * W) = Sum (Ai * (Wji * L + Lji * L)) Все же нам не уйти от необходимости решить вопрос о количественной оценке самого факта победы. Естественно, что сопоставлять победу мы можем только с поражением. Ничья же всегда рассматривается как половинка победы и половинка поражения. Возможны самые разнообразные варианты числовой оценки итога поединка. Здесь все определяют организаторы и (или участники). Жесткая оценка (Hard) Использование единицы для оценки победы и нуля для оценки поражения в алгоритме е-рейтинга означает, что победа рассматривается как абсолютное превосходство победителя над побежденным. При этом не важно, каким числом оценивается победа – 1, 2 или 10, важно, что поражение оценивается нулем. При этом возникает ситуация, когда рейтинг победителя не имеет значения для определения изменения рейтингов участников. Все определяется рейтингом проигравшего. Жесткая оценка приводит к тому, что победитель во всех партиях получает «весь призовой рейтинговый фонд». Если два участника каждый выиграл свои поединки, а между собой они не встречались, то призовой фонд делится автоматически пропорционально числу сыгранных партий. При этом все остальные участники получают нулевой рейтинг, независимо от результатов поединков между ними. Это означает что в данном турнире остальные участники не являются конкурентами лидерам и «на фоне лидеров» просто не являются участниками. Для того, чтобы оценить остальных участников, необходимо просто упрать результаты поединков с лидерами Традиционная оценка (Traditional) Можно считать, что победа Галкина над Палкиным означает просто, что Галкин имеет 2-й разряд, а Палкин 3-й. Или Галкин мастер, а Палкин кмс. По советской классификации это означает, что Галкин должен в матче с Палкиным набирать 75% очков. И в соответствии с этим победу Галкина мы будем оценивать в 3 очка, поражение Палкина в 1 очко. В этом случае изменения рейтингов на 75% определяется рейтингом проигравшего и на 25% рейтингом победителя. Равная оценка (Equal) Наконец, можно считать, что победа Галкина над Палкиным достаточно случайна, и их силы равны. Тогда имеет смысл оценку победы максимально приблизить к оценке поражения. В этом случае будем считать, что победа это 1000 очков, а поражение - 999. Однако, свойство Е-Рейтинга таково, что соотношение оценок побед и поражений достаточно слабо влияет на результат ранжирования, а вот сами величины рейтингов, естественно, зависят весьма значительно Реальная оценка (Real) Возможен и еще "реальный" вариант оценки. В этом случае за оценку победы принимаем число очков победителя турнира, а за оценку поражения число очков последнего участника. Таким образом мы полагаем, что в одной партии отражается весь турнир. Е-рейтинг и соотношение оценок В таблице ниже дано распределение е-рейтинга п «стандартном» турнире из 8-и участников при различных значениях оценки победы. Оценка поражения равна 1. При соотношении 5 к 1 первый оценивается вдвое выше чем второй
Начнем с организации турнира. Современная практика большинства турниров такова: все участники делают одинаковые взносы, которые составляют некий призовой фонд. По итогам турнира, в зависимости от занятых мест участникам вручаются призы. Нередко победитель определяется за тур, а то и за два до конца турнира. Естественно, что лидер оставшиеся партии играет по настроению. И тут уж грех винить его в договорных результатах… Участники не попадающие в число призеров также в значительной мере теряют стимул в последних турах. Вот и получается обилие коротких партий, которые раздражают всех. Да и самим шахматистам наверняка не очень то приятно отбывать номер. Однако ситуацию можно исправить с помощью е-рейтинга. Для этого достаточно изменить правила формирования и распределения призового фонда. Взносы участников должны определяться по результатам соревнования пропорционально рейтингу слабости R-. Призы распределятся по рейтингу силы R+. Итоговый баланс и определяется общим рейтингом R = R+ + R- Посмотрим что получится для шахматистов нашей редакции. К счастью в турнир были включены еще трое шахматистов из соседней котельной – Иванов, Петров и Сидоров. Это позволит нам более наглядно продемонстрировать свойства е-рейтинга. Простейший вариант. Турнир без “ошибок” Жесткая оценка победы (Все или ничего)
В жестком варианте система определяет одного победителя и одного проигравшего. Галкин забирает весь приз. А Сидоров платит за всех. А что тут неправильного? Галкин – кмс – по сути сеансер, остальные для него клиенты, и как они там играют друг с другом для него неважно. Пришел заработал на пиво и ушел. А Cидоров, пошел играть за компанию с Ивановым и Петровым – вот и расплатился за банкет «Традиционная» оценкой победы (3 к 1)
Здесь уже предполагается, что если Сидоров и проиграл всем, то это не значит,
что он второй раз в жизни сел за шахматную доску. А просто были неприятности в
котельной. “Равная” оценке (100 на 99) победы
Здесь уже предполагается, что все участники турнира сильные второразрядники и результаты в определенном смысле “случайны”. Все делают одинаковый турнирный взнос. А призовые линейно зависят от занятого места. При этом необходимо договорится о призе для последнего участника. Если последний не получает ничего, то первый приз – 200 р. Системы распределения призов самые разнообразные. Чаще всего вознаграждаются первые три места в соотношении 5 – 2 – 1, или еще как-нибудь. Все зависит от фантазии организаторов. Казалось бы все справедливо. Но к каким это приводит последствиям? Единственная ничья. Жесткое соотношение Наказание за «гроссмейстерскую» ничью лидера с аутсайдером поистине жестоко. Лидер сразу потерял 280 очков. И только 40 очков идут аутсайдеру – Сидорову. 240 – уходят остальным участникам. При этом 140 получает второй – Палкин. И Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Понятно, что зная «характер» е-рейтинга вряд ли Галкин пойдет на договорную ничью, что было бы вполне естественно при очковой системе.
Единственное поражение. Жесткое соотношение Галкин расслабился и зевнул коня в элементарной трехходовке. А Сидоров хоть и играл слабо, но в эндшпиле все же провел ферзя. Реакция «жесткого» рейтинга на это событие была просто ужасна. Вместо того, чтобы забрать весь призовой фонд турнира 800 р. Галкин довольствуется суммой 369 р. Сидоров за удачу и упорство получит 62 р – меньше чем средний приз (100 р) все же он проиграл 6 партий из 7-и. Но выиграл у абсолютного лидера. А больше всех выиграл от этого курьезного результата – Палкин. Уступив лидеру он выиграл у всех и 215 р – награда за труд. Остальные участники тоже только выиграли от такого неожиданного результата. При этом Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Интересно, что результат такого исхода курьезной партии неоднозначен для Чалкина, Залкинда, Иванова и Петрова. В рейтинге они выиграли, но в рэнкинге (месте) проиграли, пропустив вперед Сидорова
Единственное поражение. Традиционное соотношение По сравнению с «жестким рейтингом» случай единственного поражения лидера от аутсайдера оценивается не так драматично. И все же лидер теряет 50 очков. Аутсайдер получает 23 дополнительных очка. Остальные 27 очков потерянные лидерам распределяются между «зрителями». Больше всех – 8 достается второму призеру – Палкину. Сидоров при этом поднимается на 6-ю ступеньку.
Трудно сказать что справедливее – «жесткий» или «традиционный» вариант. Наверное здесь многое зависит от «сверхзадачи» турнира или организаторов. Если турнир отборочный, то, наверное, больше подходит «традиционный» вариант. Если же турнир финальный – то для дольше всего интригу сохраняет «жесткий» вариант. По итогам турнира есть два результата – количество набранных очков и занятое место или рейтинг и рэнкинг. При этом соотношение «призовых» определяется достаточно произвольно, исходя из здравого смысла и традиции. Е-рейтинг похоже дает возможность объективно связать занятое место с распределением призового фонда. Ведь в предельном случае – матча между двумя соперниками е-рейтинг это просто отношение побед и поражений. Естественно связать величину рейтинга и величину приза за определенное место. При использовании «жесткого» е-рейтинга (Победа 1 – Поражение – 0) участник победивший во всех партиях получает весь призовой фонд. (Это один из стимулов борьбы с ничьими. Ведь единственная ничья «съедает» у победителя почти половину рейтинга. И приравняв приз – е-рейтингу мы заставляем лидера играть на всю мощь до конца. «Мягкий» рейтинг естественно выравнивает соотношение рейтингов и соответственно выравнивал бы соотношение призового фонда. Использование вариаций между жестким и мягким е-рейтингом при подведении итогов и является вопросом компетенции оргкомитетов и участников. Этой вариацией автоматически определяется распределение призового фонда. Важно подчеркнуть, что изменение от «жесткого» к «мягкому» варианту е-рейтинга очень мало влияет на распределение мест – Рэнкинг. При этом при увеличении количества участников роль «жесткости – мягкости» возрастает. Е-Рейтинг можно построить из самых разнообразных моделей реальной жизни. Попробуем «вывести» Е-Рейтинг исходя из соображений спортивного плана. Рассмотрим, какие же “экспериментальные” данные мы имеем для того, чтобы расставить команды по местам, например, в чемпионате России по футболу. Мы имеем набор парных сравнений -–результатов матчей, в которых каждому сопернику было дано определение – “лучший”, “худший” или “равный”, в зависимости от победы, поражения или ничьей. Из здравого смысла вытекает, что все эти определения носят исключительно относительный (релятивистский) характер. То есть они имеют значение только по отношению к данному сопернику и, следовательно, для правильной оценки соотношения сил их нельзя складывать или вычитать. Для всех команд их положение в воображаемой табели о рангах (пока мы еще не знаем какой) определяется равновесием двух сил. Одна, определяемая победами, “тянет” вверх. Вторая, определяемая поражениями, тянет вниз. Для упрощения картины оставим пока ничьи. Свойство данной табели о рангах таково, что команда, победившая во всех матчах, обязательно будет первой. Команда, проигравшая всем, обязательно будет последней. Сила, которая “тянет” команду вверх, определяется ее победами. Наиболее простой способ определить эту силу математически – это подсчитать число победы команды. Однако, поскольку, как мы говорили выше, просто складывать нельзя, то складывать будем с “весами”. В качестве “весовых коэффициентов” возьмем некоторые, неопределенные пока величины, которые будут зависеть от команды соперника. Итак, мы получим следующее выражение для силы, которая “тянет” данную команду D “вверх” 1 а. СИЛА ВВЕРХ = Победы над А * Вес А + Победы над В * Вес В + Победы над С * Вес С + ... Или, в формальном виде 2 а. Fup i = Sum j (Wij * Rj). Здесь Fup - сила, которая тянет вверх i-ю команду; Wij - победы i-ой команды над j-ой. Ri - Вес команды i (Рейтинг Силы) Суммирование проводится по всем j-ым командам. Естественно, если побед над какой-то командой нет, то соответствующее значение W равно нулю. Отражая тот факт, что в результате равновесия сил команда "зафиксируется" в нашей гипотетической табели о рангах, если "СИЛА ВВЕРХ" будет уравновешена "СИЛОЙ ВНИЗ". Следовательно мы должны составить уравнение. 3. СИЛА ВВЕРХ = СИЛА ВНИЗ Если мы возьмем уравнение 1 а, в котором расписана "сила вверх", то определяя ее равенство "силе вниз" мы должны взять все победы соперников над командой (в данном случае все победы над командой D) 4. Сила ВНИЗ = Победы соперников над D * Вес D Таким образом, и в левой и в правой части мы используем величины одинаковой размерности (в данном случае ПОБЕДЫ умноженные на ВЕСА. Ну вот теперь имеем окончательный вид уравнения для сил, обеспечивающих "равновесное" положение команды в табели о рангах. 5. Li * Ri = Sum j (Wij * Rj).
Возьмем группу C Лиги Чемпионов, где в 1998 году играл Спартак и систему
уравнений 5 а, то есть рассмотрим все с точки зрения побед. Для Спартака имеем:(Для простоты считаем, что все игры на нейтральном поле. ) 6. Rsp * (1 + 0 + 0.5 + 0 + 0.5 + 1 ) = Rst * (1 + 0.5) + Rin * (0 + 0.5) + Rre * (1 + 0) Слева - то что тянет Спартак вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Итак Штурм тянет Спартак вверх в полторы свои силы, Интер - в полсилы, а Реал в свою полную силу.(Весь вопрос в том, каковы эти силы. Ответ даст решение системы уравнений) Ничьи расписываются как половинка победы и половинка поражения. · Rsp - рейтинг Спартака, · Rst - Рейтиг Штурма, · Rin - рейтинг Интера, · Rre - рейтинг Реала 7. Rsp * 3 = Rst *1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1 Для Штурма, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим: 8. Rst * (1+1+1+1+1+0.5) = Rsp * (0 + 0.5) + Rin * (0 + 0) + Rre * (0 + 0) Слева - то что тянет Штурм вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Обратите внимание, только Спартак "протянул руку помощи" Штурму (ничья в Москве). Спартак тянет Штурм вверх в полсилы. Так что в нашем случае рейтинг (сила) Штурма напрямую связана с силой Спартака 9. Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp. Итак, рейтинг (сила) Штурма составляет 1/11 от силы Спартака (это, естественно по данным этого турнира) Для Реала, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой, получим: 10. Rre * (1+1) = Rst * (1 + 1) + Rin * (1 + 0) + Rsp * (0 + 1) Слева - то что тянет Реал вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Реал вверх. Интер и Спартак "впряглись" в колесницу Реала в полную силу. 11. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1 Для Интера, подставляя результаты его матчей с остальной тройкой получим: 12. Rin * (1+0.5) = Rst * (1+1) + Rre * (1+0) + Rsp * (1+0.5) Слева - то что тянет Интер вниз (его поражения), справа - то, что тянет вверх (его победы). Штурм с удвоенной силой тянет Интер вверх. Спартак старается в полторы силы, а Реал - в полную силу. 13. Rin * 1.5 = Rst * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5 Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных. Для Спартака Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1 Для Штурма Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp., Для Реала Rre * 2 = Rsp * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1, Для Интера Rin * 1.5 = Rsе * 2 + Rre * 1 + Rsp * 1.5 Для того, чтобы превратить ее в линейно независимые необходимо одно (любое) вычеркнуть и добавить нормировку. Например, положим, что сумма всех рейтингов равна числу команд, умноженному на 100. Rsp + Rst + Rre + Rin = 400. Или еще удобнее, для этого случая. Считаем, что сила Штурма равна ЕДИНИЦЕ. Еще раз подчеркну, что дополнительное условие (сумма всех рейтингов, равенство единице силы одной из команд, АБСОЛЮТНО НЕ ИЗМЕНЯЕТ ОЦЕНКИ СООТНОШЕНИЯ СИЛ. Мы просто привязываем точку отсчета. Итак, одно из уравнений ЛИШНЕЕ. Мы можем любое из уравнений заменить на Rst = 1. Решения всегда будут одними и теми же. Отбросим уравнение для Интера. (На его рейтинге это никак не скажется:). Просто оно посложнее) Rsp * 3 = Rst * 1.5 + Rin * 0.5 + Rre * 1 Rst * 5.5 = 0.5 * Rsp. Rre * 2 = Rst * 2 + Rin * 1 + Rsp * 1 Rst =1. Вот эту систему и будем решать. Подставим из уравнения 4 Rsе = 1 и перейдем к системе из 3-х уравнений. Rsp * 3 = 1.5 + Rin * 0.5 + Rre Rsp = 11 Rre * 2 = 2 + Rin + Rsp Далее подставим Rsp = 11, получим систему из двух уравнений 33 - 1.5 = Rin * 0.5 + Rre Rre * 2 = 13 + Rin Умножим первое на два (просто для удобства) и переставим свободные члены (те, что не содержат в себе рейтинги (силы) команд) вправо. Rre * 2 + Rin = 63 Rre * 2 - Rin = 13 Вычтем одно из другого (Таким образом избавимся от Rre) и получим Rin * 2 = 50 Или Rin = 25 Осталось определить Rre. Возьмем уравнение 2 и подставим значение Rin = 25 Rre * 2 - 25 = 13 Или Pre = 19. Итак Rst = 1, Rsp = 11, Rre = 19, Rin = 25 Итак доли призового пирога установлены. Приняв долю слабейшей команды за ЕДИНИЦУ мы получим доли всех остальных в соответствии с заслугами.
Со временем накопилось несколько вариантов модели е-рейтинга.
|
|
|
|
