Гостевая

271314@mail.ru

Очки абсолютные и относительные

Евгений Потемкин

На чем стоим?

Сколько очков давать за победу, ничью или поражение в партии? 90% читателей этой статьи просто зевнут – ну сколько можно обсуждать глупости. Остальные десять процентов – реформаторы – вспомнят «успешный» опыт футбола и подумают, что действительно пора бы за победу давать три очка, оставив единичку для ничьей. И, возможно, кто-то подумает, что вопрос не такой уж и простой и надо бы учесть и силу соперника. Ну, хотя бы так, как это делается в алгоритме Эло.

Однако давайте посмотрим внимательно: что же такое в действительности результат партии. Что он означает? А он говорит нам только то, что в данной партии Иванов лучше Петрова, Галкин хуже Палкина, а Залкинд равен Малкину. Не больше и не меньше. А значит, он (результат) есть величина относительная.

Только оценивая результат матча, мы можем просто складывать победы и половинки ничьих в одну корзину. Не забывая, однако, о том, что и в этом случае мы упрощаем ситуацию, полагая что последовательность результатов партий не имеет значения.

Представьте себе матч Елкина и Палкина, завершившийся вничью 6 – 6. Елкин

 выиграл первую половину матча всухую и точно так же всухую проиграл вторую половину Палкину. Можно не сомневаться, что, оценивая силу этой пары шахматистов после матча и прогнозируя исход борьбы в следующей партии, большинство из вас отдаст предпочтение Палкину. Хотя по очкам получается чистая ничья. И алгоритм Эло, в конце матча отдаст предпочтение последним результатам.

И, рассуждая дальше, мы придем к заключению, что естественно было бы использовать для дальнейшей работы с результатами математику порядковых величин – первый-второй, второй-первый или одинаковый. Анализируя порядковые величины, мы и можем получить ранжирование по итогам турнира или нескольких турниров. Однако переход на такую математику ранжирования требует отказа от многих привычных представлений.

Очередность

Насколько вообще важен переход на новую математику для современных шахмат? Большинство наверняка скажет, что сегодня и без этого проблем хватает. Тут единого чемпиона мира никак не удается выявить, спонсоров нет, вокруг контроля времени споры и разногласия, компьютеры выхолащивают живую игру, гроссмейстерские ничьи заели.

Однако известное философское соображение гласит, что при решении частных вопросов, не решив вопросов более общих, мы постоянно будем наталкиваться на эти самые общие вопросы. А числовая оценка результата партии и есть самый общий вопрос, на который мы наталкиваемся, как только переходим к необходимости сравнить результаты нескольких шахматистов, желая свести их в единую табель о рангах.

Что до важности такого перехода от очков абсолютных к очкам относительным, то, имея множество проблем в организации шахмат, эту важность можно сравнить с ситуацией при оценке дачного участка. Что важнее – его длина или ширина? Очевидно, что меньше, то и важнее… Увеличив на метр меньшую сторону, вы увеличиваете площадь участка больше, чем увеличив на тот же метр большую сторону. Правда, возникает вопрос: а что проще увеличить? Какую проблему решить проще – договориться о едином чемпионе мира, найти хороших спонсоров, убедить гроссмейстеров не заключать ничьи после десяти ходов или принять глобальное решение об изменении оценки результата партии?

Какие проблемы

И тут мы натыкаемся на проблему преодоления менталитета шахматного сообщества. Казалось бы, ну что стоит организаторам турнира перейти от традиционного очкового определения итогов турнира к относительным очкам, но «Самые неприступные крепости в головах наших». А если это не просто головы, а головы профессионалов? Людей, чья профессия – думать? И речь идет не просто о каком-то спорном вопросе, с которым можно и согласиться, – речь идет о фундаменте, в котором вообще-то никто и не сомневался! Легко представить реакцию людей в начале прошлого тысячелетия, если какой-то сумасшедший заявил бы им, что Земля – круглая!

В оправдание могу сказать лишь одно: решение перечисленных выше и других частных проблем в шахматах – это всегда лишь решение одной проблемы. Изменение же системы оценки – по моему глубокому убеждению, это существенная подвижка в решении всех частных проблем. Постараюсь и вас читатель убедить в этом.

Естественный рейтинг

Если Иванов с Петровым играют между собой несколько партий, то мы можем подсчитать число побед и поражений каждого и определить их рейтинг относительно друг друга. Эти величины, для определенности, назовем относительными очками.

При этом, строго говоря, мы неявно принимаем предположение, что сами шахматисты не изменяются. Без этого предположения никаких обобщенных выводов о соотношении сил соперников делать нельзя.

Важно заметить, что абсолютная величина относительных очков не имеет значения. Если Иванов выиграл 6 партий из десяти у Петрова, то их относительные очки могут быть и 6 – 4 и 60 – 40 и 300 – 200. Отношение этих величин всегда равно отношению числа побед соперников. (Для простоты изложения не будем рассматривать ничейные результаты, понимая, что ничью можно представить как половинку победы и половинку поражения)

Таким образом, для всего шахматного сообщества мы имеем набор относительных очков, или парных рейтингов. Можно представить себе большую, большую таблицу, в которой проставлено количество побед. Причем далеко не все ее клетки заполнены. Большая часть шахматистов никогда не встречалась между собой.

Традиционный подход заключается в том, что все эти очки складывают. При этом существует обязательное требование: участники должны сыграть между собой одинаковое число партий.

Практика проведения турниров с большим числом участников заставила отказаться от требования одинакового числа партий каждого с каждым. Взамен было принято требование одинакового числа партий, сыгранных участниками, и специальная процедура жеребьевки. Это – так называемая швейцарская система. О несправедливости такой системы ранжирования участников говорилось и писалось много. И вылечить эту систему может только отказ от абсолютных очков.

Алгоритм расчета относительных очков, или е-рейтинг (естественный рейтинг) можно получить несколькими путями.

Статистическая модель

Имея набор парных рейтингов для каждого участника, мы можем определить средний рейтинг как среднее арифметическое всех парных рейтингов соперников в сыгранных партиях.

Однако тот факт, что мы не знаем абсолютных величин парных рейтингов, заставляет нас как-то их задать. До этого момента они нам просто не были нужны. И здесь мы выдвигаем гипотезу – сумма парных рейтингов в каждой партии равна сумме рейтингов этих соперников.

 В результате мы придем к достаточно простой формуле, связывающей рейтинги всех участников и результаты партий.

Рейтинг А * Поражения А = Сумма по партиям всех рейтингов побежденных соперников.

В предельном случае матча между двумя соперниками Ивановым и Петровым вы просто получаете

Рейтинг Иванова * Поражения Иванова = Рейтинг Петрова * Поражения Петрова.

Т.е. просто возвращаетесь к определению парного рейтинга.

Такие уравнения записываются для каждого участника одного или нескольких турниров, матчей независимо от сложности их регламента.

Физическая модель

Введем некую величину – мастерство. Будем считать, что эта величина передается сопернику при поражении. Причем чем больше партий вы сыграли с соперником и чем больше ваш уровень, тем больше вы проигрываете, тем больше мастерства вы передаете своим соперникам.

МАСТЕРСТВО ПОЛУЧЕННОЕ = УРОВЕНЬ * ПОРАЖЕНИЯ

С другой стороны и ваши соперники передают вам свое мастерство, проигрывая вам.

МАСТЕРСТВО ОТДАННОЕ = СУММА (УРОВЕНЬ СОПЕРНИКА * ПОБЕДЫ)

Остается принять гипотезу, что в течении определенного турнира (системы турниров) для каждого участника его мастерство не изменяется. Математически это приводит к уже известной формуле

УРОВЕНЬ * ПОРАЖЕНИЯ = Сумма по выигранным партиям УРОВНЕЙ соперников.

Уровень в физической модели и рейтинг в статистической модели означают одно и то же - относительные очки.

Можно привести еще несколько моделей - экономическую, спортивную и т.д., следуя внутренней логике которых, мы приходим к системе линейных уравнений, связывающих результаты партий и величины, характеризующие каждого участника отдельно. Эти величины можно назвать уровнем, рейтингом, относительными очками или взвешенными процентами. Важно, что расположив участников по уровню, мы получим такую табель о рангах, которая будет содержать в себе минимально возможное количество ошибок.

Этим обеспечивается прямой переход от результата партии непосредственно к итоговому ранжированию. Это очень важное свойство, поскольку все результаты партий имеют одинаковую значимость, и для участников отдельных турниров сохраняется стимул для борьбы независимо от турнирного положения в данном турнире. Согласитесь, это по крайней мере сужает поле для коротких ничьих.

Первоначально е-рейтинг возник из общих соображений, так сказать из здравого смысла. Однако впоследствии было показано, что эта модель точное решение модели Марковских цепей – математической модели последовательных парных событий. И соответственно имеет строгое математическое обоснование.

Критерий

Однако, возразит внимательный читатель, откуда следует, что расставив участников по относительным очкам, мы поступим более справедливо, чем используя привычную и простую систему абсолютных очков. А критерий может быть только один – количество и качество ошибок в итоговой табели о рангах. Ошибкой же считаем результат партии, противоречащий итоговой расстановке участников.

Однако подсчет количества ошибок – это как бы точка зрения участников, для которых одинаково важны все места. Однако с точки зрения болельщиков, конечно же, важнее то, что происходит вверху таблицы.

Для того, чтобы учесть качество ошибок, можно определить значимость ошибки как произведения величины ошибки на вес ошибки.

Величина ошибки - это разность итоговых мест соперников в «ошибочной» партии. Например если 10-й в итоговой таблице участник выиграл у пятого, то величина ошибки составит 10 - 5 = 5 очков.

Вес ошибки - это сумма числа участников, обойденных данными соперниками. Например в турнире из 14 участников вес указанной выше ошибочной партии составит (14 - 5) + (14 - 10) = 13

В итоге значимость  ошибки в данном примере составит 5 * 13 = 65 очков.

Ошибка ранжирования, когда последний выиграл у предпоследнего, составит ровно 1 очко. А значимость ошибки, когда второй выигрывает у первого, составит (в турнире из 14 участников) (13+12) * 1 = 25 очков.

Как это работает

Линарес 2005

Давайте посмотрим, как работает е-рейтинг на нескольких примерах. Возьмем завершившийся недавно турнир в Линаресе. Его величество Случай предоставил нам возможность продемонстрировать решение «спорных ситуаций именно в этом турнире.

Итоговая таблица Линареса 2005

Официальные итоги турнира именно таковы. Каспаров стоит выше Топалова, поскольку он черными набрал больше очков (4 – против 3 у Топалова), а Касымжанов стоит выше Вальехо. У него 2,5 очка черными – против 1,5 очка черными у Вальехо. Так «сработал» дополнительный показатель, который говорил, что при равенстве очков выше стоит тот, кто лучше сыграл черными.

Необходимость введения дополнительных показателей – следствие использования абсолютных очков.

А вот как «рассуждает» компьютер, основываясь на логике относительных очков.

В первом приближении модель следующая. Каждый участник как бы выступает в качестве эксперта. Результат такой экспертизы – это результат партий.

Попробуем разобраться, кто же все-таки победил в турнире. Итак, игроки «голосуют» своими результатами.

Ананд  выиграл у Топалова и сыграл вничью с Каспаровым, и поэтому «он считает», что Каспаров сильнее.

Леко, Касымжанов и Вальехо сыграли с Топаловым и Каспаровым одинаково и «они считают», что эти игроки равны.

Адамс проиграл Каспарову обе партии, а Топалову только одну, и он, естественно, тоже «считает, что Каспаров сильнее. 

Сами же Каспаров и Топалов «считают», что Топалов сильнее.

Казалось бы, голоса разделились поровну. Но Каспаров и Топалов «сильнее» в данном турнире и Ананда и Адамса, и их мнение – «более значимо».

Посмотрим на пару аутсайдеров Касымжанов и Вальехо. Вот «мнения» наших экспертов. Каспаров «считает», что Касымжанов сильнее Вальехо. Топалов солидарен с Каспаровым и тоже «считает» что чемпион мира по версии ФИДЕ – сильнее. Ананд и Леко полагают, что это равные шахматисты. Мнение Адамса совпадает с мнением лидеров – Касымжанов сильнее. Ну а сами участники этого спора придерживаются иного мнения – оба они «считают», что в их соперничестве сильнее Вальехо.

Большинство – на стороне Касымжанова. Но даже если бы голоса разделились поровну, их «мнение» не было бы решающим. Ведь они аутсайдеры, и мнение других «экспертов» перевешивает.

Аэрофлот 2005

И все же круговой турнир – не самый хороший пример для демонстрации преимуществ относительных очков. В большинстве случаев ранжирование по абсолютным очкам получается таким же, как и по относительным очкам, и преимущество в пол-очка перевешивает.

Официальные итоги

Рассмотрим ситуацию с официальным ранжированием на примере результатов Александра Арещенко в Аэрофлоте-2005. Вот его результаты: четыре победы, четыре поражения и одна ничья.

Жирным шрифтом выделены те результаты, которые «противоречат» итоговому ранжированию в соответствии с официальным регламентом.

В официальной табели о рангах Арещенко занял 52-ю позицию. При этом он умудрился выиграть у 17-го - Трегубова, 32-го - Тимофеева 33-го - Сашикирана и 41-го - Мамедьярова... Проиграл же он вполне заслуженно – 1-му - Сутовскому, 11-му - Раджабову, 12-му - Малахову и 19-му - Магеми. Таким образом, официальное ранжирование «обидело» Арещенко 4 раза.

Итоги по е-рейтингу

Теперь посмотрим, как разобрался с этой ситуацией е-рейтинг.