|
|
|
|
|
|
||
| |||||||||
|
Радио
•
|
М-РЕЙТИНГИ Дмитрий Мальковский Предлагаемое применение Универсальной Рейтинговой Системы (УРС) может быть интересно и полезно в первую очередь организаторам и руководителям спорта и спортивных мероприятий, а также спортсменам, тренерам, спортивным комментаторам и болельщикам. Е. А кто из нас не представлял глобальных проектов, охватывающих все и вся? Но это вовсе не означает, что в данной работе нет ничего интересного. Эта работа попалась мне во время чистки диска. УРС призвана определять и гибко корректировать иерархию, присваивая или изменяя по результатам соревнований численное значение рейтинга участников. Система годится для расчета рейтинга участников по итогам соревнований, проводимых по любой формуле: матчевая встреча, сеанс одновременной игры, турниры по круговой, олимпийской и любым другим системам. Рейтинг (индивидуальный коэффициент) – число, характеризующее достижения спортсмена, команды, клуба и пр., определяющее их место в иерархии и меняющееся в зависимости от результатов их выступлений. Е. До боли знакомое определение. Где-то я его уже читал…Но не в этом суть. Эти определения как булыжники на дороге – на виду у всех. Система, определяющая рейтинги, должна быть абсолютно понятна, Е. А вот эта точка зрения, которой я и сам придерживался на протяжении долгих лет, теберь вызывает у меня бООльшие сомнения. Теперь я уверен, что система расчета рейтинга, если уж она необходима, что тоже не факт? Должна быть воспроизводимой, и должна совершать минимум ошибок в ранжировании. Что я имею ввиду. Допустим некий умелец прислал вам программу в двоичных кодах с нормальным интерфейсом. Вы загоняете туда результаты матчей (поединков) и получаете итоговое ранжирование. Подсчитываете число ошибок и оно оказывается меньше чем у любой другой программы (даже – е-рейтинга). И вы с полным на то основанием можете смело использовать эту программу как наиболее объективного составителя ранжирования. И можете НИЧЕГО не знать о принципах ее действия. Многие сейчас возмутятся как же так! Мы должны знать! На что возражу а вы знаете как «работает» корова, дающая вам молоко? Нет! И никто не знает! А молоко пьем! Мы живем в мире о котором НИЧЕГО и НИКОГДА не узнаем полностью. Нам это интересно, но значительно важнее, чтобы корова давала «правильное» молоко. все ее составляющие должны быть совершенно физичны, т.е. объяснимы с точки зрения здравого смысла, все ее результаты должны являться однозначным следствием сделанных базисных предположений и не допускать применения никаких произвольных коэффициентов, особых точек и пр., т.е. система должна быть самосогласованной и самодостаточной. Е. Мудро, но похоже на правду. Хотя некоторых терминов, я честно говоря не понимаю. Итак, начнем изложение структуры УРС с рассмотрения основного элемента конструкции - формулы вычисления изменений и определения рейтинга участника матчевой встречи («один на один»). Е. Ага, речь пошла о цепочке последовательных поединков (сравнений) двух участников. Например матч Каспаров – Карпов. Не углубляясь в подробности математических обоснований, проиллюстрируем путь к формализации результатов с помощью житейских рассуждений. Если участник I набрал больше очков, чем участник J в их матче, можно смело предположить, что I играет лучше J, т.е. рейтинг I выше рейтинга J. Чем больше очков набирает I во встрече с J, тем выше становится рейтинг I, и, наконец, можно предположить, что рейтинг I во столько раз выше рейтинга J, во сколько раз I набрал больше очков, чем J в их матче. Говоря русским языком автор высказывает обычную мысль о том, что отношение рейтингов принимается равным отношению побед и поражений в данном матче. Правда также «смело можно предположить» что РАЗНОСТЬ рейтингов двух участников равна РАЗНОСТИ побед и поражений. Более того мы можем придумать бесконечное множество функций, отражающих РАЗЛИЧИЕ между рейтингами положив, что эти функции от рейтингов равны этим же функциям от результатов. Ну, например, квадратный корень из разности рейтингов равен квадратному корню из разности побед и поражений. Вид самой функции необходимо еще обосновать. Арпад Эло удачно предложил использовать вообще логарифм отношения побед и поражений. И это хорошо работает при определенных условиях. Причем эта оценка тем точнее, чем больше число игр в матче. Чтобы избежать случайностей при малом количестве игр, необходимо ввести параметр m, определяющий какая часть рейтинга защищена от случайностей при малом количестве игр, а какая может изменяться. E: А как же «не допускать применения никаких произвольных коэффициентов»? Другими словами, этот параметр как бы учитывает предысторию. Доматчевые рейтинги ri и rj определены как бы на m предыдущих партиях, а послематчевые рейтинги Ri и Rj получены путем коррекции доматчевых рейтингов по результатам n встреч в матче. При этом корректироваться может только часть рейтинга. Чем меньше отношение m/n (т.е. чем больше n и, следовательно, достоверность результата матча), тем большая часть рейтинга поступает в «розыгрыш». Итак, говоря проще, систему необходимо толкнуть с горы, тогда она «поедет» и «забудет» кто и как ее толкал. Ничего плохого в этом нет, только надо сразу оговорить, что система в принципе предназначена для работы в устоявшихся условиях. То есть так-же, как и система Эло, которая с трудом «переваривает 15-и летних гроссмейстеров. Теперь сформулируем первую аксиому: отношение рейтингов соперников равно отношению набранных ими очков в матче Ri/Rj =(Ni+Mi)/(Nj+Mj) (1) При этом очевидно.что Mi=m*ri/(ri+rj), Mj=m*rj/(ri+rj), m=Mi+Mj, n=Ni+Nj Ni, Nj - количество очков, набранных участниками I и J соответственно, Mi, Mj - количество очков, как-будто бы набранных участниками I и J в предыдущих m встречах, Здесь же заметим, насколько физично предложенное определение: из него асимптотически следует, что отношение рейтингов соперников равно отношению вероятностей набрать очко каждым из них. Справедливо было бы предположить также, что увеличить свой рейтинг один из участников встречи может только за счет рейтинга другого участника. Это позволит нам сформулировать вторую аксиому: сумма рейтингов до и после матча сохраняется Ri+Rj=ri+rj (2) Е: Ну это сказал еще Ломоносов, о том, что если где-то что-то убыло, значит где-то что то прибыло. Этот принцип используется в большинстве рейтинговых систем. (В том числе и в е-рейтинге.) А вот физично ли использовать этот принцип здесь - не уверен. Ведь по большому счету термин «физичность» используемый автором должен был бы означать не вульгарное следование физическим ассоциациям, а соответствие реальной природе вещей. И по большому счету сумма рейтингов участников, если мы под рейтингами понимаем их силу (умение в данном виде) весьма возможно изменится. Ну наверное и Карпов и Каспаров стали больше понимать в шахматах после их матча. Если согласиться с предлагаемой аксиоматикой, то все дальнейшие рассуждения являются плодом указанных аксиом и бесспорных математических выкладок. Система самосогласованна и самодостаточна. Итак, мы получаем искомую формулу для расчета рейтинга участников матчевой встречи (« один на один»). Эта формула имеет очень элегантный и прозрачный вид: Ri = ri+ri*Km*Ki*(Ni/n-Oi) (3) Rj = rj+rj*Km*Kj*(Nj/n-Oj) (4) Km = n/(m+n) – коэффициент, характеризующий какая часть рейтинга поступает в «розыгрыш» Ki = (ri+rj)/ri; Kj = (rj+ri)/rj – коэффициенты, определяющие «цену» очка Oi = ri/(ri+rj); Oj = rj/(ri+rj) – вероятность набрать очко, или ожидаемый относительный результат. Оi*n, Oj*n – соответственно математическое ожидание или ожидаемое количество очков участников I и J в n партиях. Интересно отметить, что “цена” очка обратно пропорциональна вероятности его набрать. Это вполне согласуется со здравым смыслом. Ni/n, Nj/n – действительный относительный результат (отношение набранных очков к общему числу сыгранных партий). Изменение рейтинга участника определяется отличием действительного результата матча от ожидаемого. Если действительный результат матча совпал с ожидаемым, то - противники подтвердили свою квалификацию, и их рейтинги не изменились. Если действительный результат участника I превышает ожидаемый (Оi), то он получает отобранную у противника прибавку к рейтингу, пропорциональную превышению (Ni/n-Oi), «цене» (Ki) и разыгрываемой части рейтинга (Km). Теперь перейдем к следующему шагу построения УРС с использованием основного уже рассмотренного нами элемента конструкции в случае нескольких участников соревнования. Результат турнира для любого из участников можно интерпретировать как суммарный результат его микроматчей с противниками. Правильнее рассчитывать изменение рейтинга участника, последовательно применяя описанную процедуру для каждой встречи противников внутри турнира. Но если турнир по каким-либо причинам выделен в самостоятельную категорию, можно пользоваться упрощенной формулой расчета, предположив, что внутри турнира рейтинги участников не изменяются, и вычислять рейтинги участников по окончательным итогам турнира. Необходимо отметить, что на практике, безусловно, удобнее пользоваться общей формулой, а полученная ниже формула приведена для анализа и сравнения. Если i-ый участник играет с j-ым противником nij партий в турнире и при этом выигрывает Nij очков, а проигрывает соответственно nij-Nij очков, то можно ввести отношение количества их рейтингов после турнира следующим образом (общая аксиома 1)
(m+ni)*Ri = (m+ni)*ri + å Nij*rj - å(nij-Nij)*ri (суммирование по j от 1 до М, кроме j=i) (5) (m+nk)*Rk (m+nk)*rk + å Nkj*rj - å(nkj-Nkj)*rk (суммирование по j от 1 до М, кроме j=k)
В числителе правой части стоит изменение баланса рейтинга i-го участника после турнира (первое слагаемое – начальный баланс, второе слагаемое – активы, вычисляемые как произведение количества набранных очков на соответствующие рейтинги побежденных, третье слагаемое – пассивы, вычисляемые как произведение количества потерянных очков на рейтинг i-го участника). В знаменателе правой части – изменение баланса k-го участника (по аналогии с i-ым участником). Таких соотношений (уравнений) будет М-1, где М – число участников турнира. Если предположить, что рейтинги не исчезают в никуда и не берутся ниоткуда, сформулируем вторую общую аксиому: количество рейтинга до и после турнира сохраняется
å (m+ni)*Ri = å (m+ni)*ri (суммирование ведется по i от 1 до М) (6)
Мы получили М уравнений с М неизвестными. Решаем систему и получаем М решений. Эти решения запишем в более удобном и знакомом виде.
Ri=ri+ri*åKij*Kmij*(Nij/nij-Oij) (7)
Суммирование по j от 1 до М, кроме j=i, где М – число участников турнира Kmij=nij/(m+ni) – коэффициент защиты от случайностей Kij = (ri+rj)/ri – коэффициент, определяющий “сколько стоит каждое выигранное очко” Oij = ri/(ri+rj) – вероятность набрать очко или относительное ожидаемое количество очков i-го участника в матчах с j-м участником (Oij*nij – ожидаемое количество очков i-го участника во встрече с j-ым участником в турнире) ni – общее количество сыгранных i-ым участником матчей в турнире Здесь необходимо указать на некоторые частные случаи формулы (7): 1. Совершенно понятно, что формула (7) переходит в упомянутые формулы (3), (4) при М=2. Естественно общие аксиомы 1 и 2 ((5), (6))содержат в себе аксиомы 1 и 2 ((1), (2)) как частный случай. 2. Формула (7) содержит в себе все возможные варианты турниров: круговой (nij =n0), олимпийский (кубковый), и даже сеанс одновременной игры. Кроме этого ее можно использовать и в случаях одновременного старта (авто- и мотогонки, бега, л/атлетика и пр..) Искушенный читатель уже наверно обратил внимание, что формулы внешне похожи на наиболее развитую и известную формулу Арпадо Эло (официально признанную ФИДЕ), но имеют ряд очевидных преимуществ и не содержат искусственных коэффициентов и особых точек. Приведенная здесь формула использует для расчета рейтинга не только количество набранных в турнире очков, но и учитывает, у кого эти очки были отобраны: у сильных или слабых соперников. И это вполне оправдано. Победа над сильным противником стоит дороже, чем над слабым. Коэффициент, определяющий «цену» набранного очка, не постоянен, а зависит от рейтингов участников. Каждое отобранное очко у сильного соперника стоит, очевидно, дороже очка, отобранного у слабого соперника. Напомню, что эта формула получена при двух сделанных предположениях путем строгих математических выкладок и не содержит никаких дополнительных волюнтаристских предположений. Некоторая похожесть формул вселяет надежду, что к ней нетрудно будет привыкнуть. Преимущества же ее убедят окончательно: 1. Используемое здесь понятие рейтинга имеет конкретное физическое и математическое наполнение, а также житейский смысл: отношение рейтингов определяется отношением набранных очков, определяет соотношение сил соперников и равно отношению вероятностей набрать очко. Конечно и рейтинги Эло можно легко пересчитать в вероятность победы. И наверное ФИДЕ скорее согласится пересчитать рейтинги Эло а не вводить новую систему 2. УРС самосогласованна и самодостаточна. 3. Приведенные выше формулы получены при использовании двух аксиом и не требуют более никаких предположений. Не используются никакие искусственные коэффициенты, нет особых точек, в которых формула вдруг качественно и неоправданно изменяет вид. Они верны при любом масштабе рейтингов и удобны в расчетах, так как они гладкие во всей области значений рейтингов, тогда как аналогичная формула Арпада Эло имеет неоправданный и необъяснимый излом. 4. Цена каждого набранного или потерянного очка не постоянна, а зависит от рейтинга противников. Мне кажется, это справедливо: чем сильнее соперник, тем дороже победа. Даже ничья лидера с аутсайдером приведет к уменьшению рейтинга лидера, а уж поражение – тем более. Это заставит команды проводить каждый матч в полную силу, исключит проходные матчи и договорные игры. Это очень существенное и оправданное отличие от ныне широко используемых очковых систем. Е: Это давным-давно понятно. Причем большинство рейтинговых систем все это и воспроизводит. 5. Описываемая формула может применяться и для более тонкого анализа, чем победа, поражение или ничья, а именно: с каким счетом закончился матч («мягкий рейтинг»). Чтобы не уменьшить свой рейтинг, лидер должен сыграть не хуже и забить не меньше, чем от него требуется в соответствии с его положением в иерархии. Е: Здесь все зависит от целей чемпионата или турнира 6. Цена забитого гола будет различной при игре различных по силе команд, т.к. цена забитого гола обратно пропорциональна вероятности его забить. 7. УРС, оперируя действительно объективными данными, может определить статус команд в едином международном рейтинг-листе, построенном на основе национальных рейтинг-листов с учетом национального коэффициента пересчета, вычисленного по результатам выступления некоторых команд в международных турнирах (Лига Чемпионов, Кубок УЕФА и пр.). 8. Важно подчеркнуть, что это возможно только с использованием УРС, но никак, скажем, не очковых систем, так как рейтинги могут складываться и пересчитываться, а очки – нет. 9. Формула для ожидаемого числа очков качественно похожа на формулу, используемую Арпадо Эло, но: · во-первых, она имеет конкретный физический и математический смысл: ожидаемое число очков равно математическому ожиданию (из основ математической статистики) · во-вторых, она верна при любом масштабе рейтингов и соответственно не требует изменения численных коэффициентов при переходе к любому другому масштабу и может быть адаптирована к уже существующей системе. · в-третьих, этой формулой просто удобнее пользоваться при расчетах, так как она гладкая во всей области значений рейтингов.
Впрочем, анализ этих формул или сравнение с их аналогами в других системах являются сами по себе интересными задачами. УРС может определять как текущий (абсолютный) рейтинг, вычисляемый по результатам всех предыдущих соревнований, так и относительный рейтинг на каком-то отрезке (рейтинг года, рейтинг турнира и пр.) Следовательно, можно построить абсолютную иерархию за весь рассматриваемый период, а можно расставить участников по местам по результатам года, кубка и пр., определить чемпиона, призеров и аутсайдеров. При расчете относительного рейтинга все участники входят в рассматриваемый отрезок с одинаковыми рейтингами. Еще более тонкий анализ можно провести, учитывая счет матчей (так называемый «мягкий рейтинг» в дополнение к «жесткому рейтингу», вычисляемому только по результату: выигрыш, проигрыш или ничья). УРС позволит заглянуть внутрь команд, вычислив лучшего тренера или действительно лучшего бомбардира, а не игрока, выступающего за лидера и забившего несколько голов аутсайдерам (все-таки цена гола лидеру и аутсайдеру сильно отличаются, и лучший бомбардир может оказаться не обязательно в команде-лидере). Каждый тренер имеет свой личный рейтинг, с которым он приходит в команду и покидает ее, но этот рейтинг изменяется в соответствии с изменением рейтинга тренируемой команды. Ошибки тренера, повлекшие проигрыши команды, приведут к снижению его собственного рейтинга. Рост рейтинга тренера возможен только вместе с ростом рейтинга команды. Каждый игрок имеет свой личный бомбардирский рейтинг, который зависит не только от того, сколько голов он забил, но и кому. По этому рейтингу можно определять, кто лучший бомбардир тура, круга, сезона или абсолютно лучший. Кроме того, результат применения УРС будет определять действительное объективное соотношение сил команд. Это следует из аксиоматики построения УРС. В качестве примера в приложении (вложенный файл) приведены «жесткие» и «мягкие» рейтинги команд Премьер Лиги России после 12-го тура (абсолютные с учетом результатов прошлого года и относительные за 02 год) и рейтинги бомбардиров. Можно также привести сводный рейтинг лист команд 5 ведущих стран Европы + Россия по итогам национальных первенств, Лиги Чемпионов и Кубка УЕФА за предыдущий год. |
|
|
|
